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MCMC算法教程:从原理到实践

来源:www.goldyong99.com 时间:2024-05-13 22:50:05 作者:九九算法网 浏览: [手机版]

MCMC算法教程:从原理到实践(1)

么是MCMC算法

MCMC(Markov Chain Monte Carlo)算法是一种用于模拟复杂系统概率算法九九算法网www.goldyong99.com。它通过构建马尔科夫链,从而生成符合定分布样本。MCMC算法在统计学、物理学、计算机科学等领域都有广泛应用。

MCMC算法教程:从原理到实践(2)

马尔科夫链

马尔科夫链是一种数学模型,它描述是一个随机过程,其中下一个状态只依赖于当前状态,而不受之前状态响。马尔科夫链可以用状态转移阵来表示,其中每个元素表示从一个状态转移到另一个状态概率。

Metropolis-Hastings算法

Metropolis-Hastings算法是一种基于马尔科夫链MCMC算法,它可以生成符合定分布样本。该算法基本思想是构建一个马尔科夫链,使得该链平稳分布为目标分布,后通过抽样来模拟该链。

具体来说,Metropolis-Hastings算法包含以下步骤:

1. 选择一个初始状态$x_0$原文www.goldyong99.com

  2. 从一个提议分布$q(x'|x)$中抽样一个候选状态$x'$。

3. 计算接受率$r=\frac{p(x')q(x|x')}{p(x)q(x'|x)}$,其中$p(x)$为目标分布,$q(x'|x)$为提议分布。

  4. 以概率$\min(1,r)$接受候选状态$x'$,否则保持当前状态$x$。

  5. 重复步骤2-4,直到得到足够多样本。

Gibbs采样

  Gibbs采样是一种MCMC算法,它可以生成符合多维分布样本。该算法基本思想是构建一个马尔科夫链,使得该链平稳分布为目标分布,后通过抽样来模拟该链。

  具体来说,Gibbs采样包含以下步骤:

1. 选择一个初始状态$x_0$欢迎www.goldyong99.com

  2. 对于每个维度$i$,抽样一个新状态$x_i'$,使得$x_i'$条件分布为$p(x_i'|x_{-i})$,其中$x_{-i}$表示$x$中除了第$i$维以外有维度。

  3. 将$x$中第$i$维值替换为$x_i'$,得到新状态$x'$。

  4. 重复步骤2-3,直到得到足够多样本。

MCMC算法教程:从原理到实践(3)

实践:用MCMC算法求解贝叶斯线性回归模型

  贝叶斯线性回归模型是一种用于回归分析模型,它可以用来预测一个连续变量值。在这里,我们将使用MCMC算法来求解贝叶斯线性回归模型。

具体来说,我们将使用Metropolis-Hastings算法来生成符合后验分布样本,后用这些样本来估计模型参数。我们目标是求解如下后验分布:

  $$p(\boldsymbol{\theta}|\mathbf{X},\mathbf{y})\propto p(\mathbf{y}|\mathbf{X},\boldsymbol{\theta})p(\boldsymbol{\theta})$$

  其中,$\boldsymbol{\theta}$表示模型参数,$\mathbf{X}$表示输入数据,$\mathbf{y}$表示输出数据,$p(\mathbf{y}|\mathbf{X},\boldsymbol{\theta})$表示似函数,$p(\boldsymbol{\theta})$表示先验分布九.九.算.法.网

  我们假设先验分布为正态分布,似函数为高斯分布,模型参数为$\boldsymbol{\theta}=(\mathbf{w},\sigma^2)$,其中$\mathbf{w}$表示权重向量,$\sigma^2$表示噪声方差。此外,我们还假设噪声是独立同分布

具体来说,我们模型可以表示为:

  $$\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{w}+\boldsymbol{\epsilon}$$

其中,$\boldsymbol{\epsilon}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$。

我们可以通过以下步骤来使用MCMC算法求解贝叶斯线性回归模型:

  1. 选择一个初始状态$\boldsymbol{\theta}_0$。

2. 从一个提议分布$q(\boldsymbol{\theta}'|\boldsymbol{\theta})$中抽样一个候选状态$\boldsymbol{\theta}'$。

3. 计算接受率$r=\min\left(1,\frac{p(\boldsymbol{\theta}')q(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\theta}')}{p(\boldsymbol{\theta})q(\boldsymbol{\theta}'|\boldsymbol{\theta})}\right)$。

4. 以概率$r$接受候选状态$\boldsymbol{\theta}'$,否则保持当前状态$\boldsymbol{\theta}$来自www.goldyong99.com

  5. 重复步骤2-4,直到得到足够多样本。

  我们可以使用PyMC3库来实现MCMC算法。具体来说,我们可以使用以下代码来定义模型和运行MCMC算法:

```python

  import pymc3 as pm

  # 定义模型

  with pm.Model() as model:

  # 定义先验分布

  w = pm.Normal('w', mu=0, sd=1, shape=(n_features,))

  sigma = pm.HalfNormal('sigma', sd=1)

# 定义似函数

  y = pm.Normal('y', mu=X.dot(w), sd=sigma, observed=y_train)

# 运行MCMC算法

  trace = pm.sample(5000, tune=1000)

```

  在上述代码中,我们首先定义了一个PyMC3模型,并在其中定义了先验分布和似函数。后,我们使用`pm.sample()`函数来运行MCMC算法,并指定了样本数量和调整步长。

  最后,我们可以使用以下代码来可化MCMC算法结果:

  ```python

import arviz as az

  # 可化MCMC结果

  with model:

  az.plot_trace(trace)

  ```

  在上述代码中,我们使用`az.plot_trace()`函数来可化MCMC算法结果。该函数可以显示参数后验分布、自相关性和收敛情况等信息。

  MCMC算法是一种用于模拟复杂系统概率算法,它通过构建马尔科夫链,从而生成符合定分布样本九 九 算 法 网。本文介绍了MCMC算法原理和两种常算法:Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样。此外,我们还通过一个实例演示了如何使用MCMC算法求解贝叶斯线性回归模型。

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